齐次坐标

来由

齐次坐标由August Ferdinand Möbius(奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯)在1827年提出，最初用于解决射影几何中的问题。在欧几里得几何中，平行线永不相交，但在射影几何中，平行线在无穷远处相交。为了统一处理这些情况，引入了齐次坐标。

原理

齐次坐标通过增加一个维度来表示点。例如，在二维空间中，点 ((x, y)) 的齐次坐标表示为 ((x, y, w))，其中 (w) 是额外的坐标。通常，(w = 1)，因此点 ((x, y)) 的齐次坐标为 ((x, y, 1))。

齐次坐标是一种用 N+1 个数字表示 N 维坐标的方法。

要制作 2D 齐次坐标，我们只需在现有坐标中添加一个额外的变量 w。因此，笛卡尔坐标中的点 （X， Y） 变为齐次坐标中的 （x， y， w）。笛卡尔中的 X 和 Y 用齐次 as 中的 x、y 和 w 重新表示;
X = x/w
Y = y/w

例如，笛卡尔 （1， 2） 中的一个点在齐次中变为 （1， 2， 1）。如果一个点 （1， 2） 向无穷大移动，则它在笛卡尔坐标中变为 （∞，∞）。在齐次坐标中，由于 （1/0， 2/0） ≈ （∞，∞），它在齐次坐标中变为 （1， 2， 0）。请注意，我们可以在不使用 “∞” 的情况下表示无穷远处的点.

在图形处理时，如D3D11时，一般将3维扩展到4维(x,y,z,1)，这样就可以统一进行平移旋转缩放等功能。

关键点

1. 无穷远点：当 (w = 0) 时，((x, y, 0)) 表示无穷远点，用于描述平行线的交点。
2. 缩放不变性：齐次坐标 ((x, y, w)) 与 ((kx, ky, kw))（(k \neq 0)）表示同一个点，具有缩放不变性。
3. 统一变换：齐次坐标允许用单一的矩阵乘法表示平移、旋转、缩放等变换，简化了几何变换的计算。

应用

1. 计算机图形学：用于表示和操作三维物体的变换。
2. 机器人学：描述机械臂的运动和位置。
3. 计算机视觉：用于相机模型和图像投影。

示例

在二维空间中，点 ((2, 3)) 的齐次坐标为 ((2, 3, 1))。平移变换可以通过矩阵乘法实现：

同质

如前所述，为了将齐次坐标 （x， y， w） 转换为笛卡尔坐标，我们只需将 x 和 y 除以 w;

将 Homogeneous 转换为 Cartesian，我们可以找到一个重要的事实。让我们看看下面的例子;

如您所见，齐次点 （1， 2， 3）、（2， 4， 6）、（3， 6， 9） 和 （4， 8， 12） 对应于同一个欧几里得点 （1/3， 2/3）。任何标量积 （1a， 2a， 3a） 都与欧几里得空间中的 （1/3， 2/3） 相同。因此，这些点是“齐次的”，因为它们表示欧几里得空间（或笛卡尔空间）中的同一点。换句话说，齐次坐标是尺度不变的。

（1,2,3） （2,4,6） 和 （3,6,9） 是相同的笛卡尔点 （1/3， 2/3）。所有齐次点（1a、2a、3a）都在橙色线上。
您可以将齐次坐标的 w 值想象成从电视投影仪到屏幕的距离。当 w 值增加时，屏幕会远离投影仪。

齐次坐标系两条平行线的相交证明

考虑以下欧几里得空间中的线性系统;

而且我们知道，由于 C ≠ D，上述方程没有解，即平行。
如果 C = D，则两条线相同（重叠）。

让我们通过将 x 和 y 分别替换为 x/w、y/w 来重写投影空间的方程。

现在，我们有一个解 （x， y， 0），其中 w = 0。

因此，两条平行线在 （x， y， 0） 处相交，即无穷远处的点。

齐次坐标在计算机图形学中是非常有用的基本概念，例如将 3D 场景投影到 2D 平面上。

总结

齐次坐标通过增加一个维度，统一处理有限点和无穷远点，简化了几何变换的表示和计算，广泛应用于多个领域。

齐次坐标与透视投影的关系？

https://jia.je/kb/software/cg.html#_5
透视投影要做的是把一个四棱台（Square Frustum，四棱锥水平切开，底面和顶面是正方形，其余四个面都是梯形）映射到 NDC 上。其中四棱台的四条棱延长以后，交于原点。也就是说焦点就是坐标轴的原点。

相比正交投影，透视投影最大的不同在于它近大远小的特性，更加贴近实际：正交投影无论深度多少，看到的物体大小不变；而在透视投影中，从原点出发，到 near 平面上的一点连成射线，这条射线上的点都对应同一个屏幕上的点，因此远的物体在屏幕上看的小，近的物体在屏幕上看得大。

因此在实现透视投影的时候，就要利用这条从原点出发到 near 平面的一点的射线：由于这条射线上的点都对应屏幕上同一个点，因此在 NDC 中也对应同一个（x’,y’） 坐标。那么，在计算x’和y’的时候，先利用相似三角形关系，把点映射到 near 平面上（near 平面的 Z 坐标是 z=-n ）：

这样就得到了四棱台到长方体的映射，但是这里涉及到对z的除法运算，为了在矩阵中实现针对z的除法运算，需要利用齐次坐标自带的除法：（x,y,z,w）->(x/w,y/w,z/w,)也就是说，把 z 的值挪到w 上，就相当于实现了除法。按照这个思路，可以得到下面的矩阵：

其中A 和B 是未知数。验证一下上面的矩阵是否实现了除法：
首先是生成齐次坐标：

矩阵变换以后：

// Source: https://github.com/Mesa3D/mesa/blob/957009978ef6d7121fc0d710d03bc20097d4d46b/src/mesa/math/m_matrix.c#L773-L797
void
_math_matrix_frustum( GLmatrix *mat,
              GLfloat left, GLfloat right,
              GLfloat bottom, GLfloat top,
              GLfloat nearval, GLfloat farval )
{
   GLfloat x, y, a, b, c, d;
   GLfloat m[16];

   x = (2.0F*nearval) / (right-left);
   y = (2.0F*nearval) / (top-bottom);
   a = (right+left) / (right-left);
   b = (top+bottom) / (top-bottom);
   c = -(farval+nearval) / ( farval-nearval);
   d = -(2.0F*farval*nearval) / (farval-nearval);  /* error? */

#define M(row,col)  m[col*4+row]
   M(0,0) = x;     M(0,1) = 0.0F;  M(0,2) = a;      M(0,3) = 0.0F;
   M(1,0) = 0.0F;  M(1,1) = y;     M(1,2) = b;      M(1,3) = 0.0F;
   M(2,0) = 0.0F;  M(2,1) = 0.0F;  M(2,2) = c;      M(2,3) = d;
   M(3,0) = 0.0F;  M(3,1) = 0.0F;  M(3,2) = -1.0F;  M(3,3) = 0.0F;
#undef M

   matrix_multf( mat, m, MAT_FLAG_PERSPECTIVE );
}